ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ   Α

 

ΨΗΦΙΑΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

 

Γενικά περί Σημάτων

 

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ

 

Ορίζουμε το σήμα σαν μία μονοσήμαντη συνάρτηση χρόνου που μεταφέρει πληροφορίες. Συνεπώς για κάθε χρονική στιγμή (ανεξάρτητη μεταβλητή) υπάρχει μία μοναδική τιμή της συνάρτησης (εξαρτημένη μεταβλητή). Η τιμή αυτή μπορεί να είναι ένας πραγματικός αριθμός, όπου στην περίπτωση αυτή έχουμε ένα πραγματικό σήμα, ή μπορεί να είναι ένας μιγαδικός αριθμός, όπου στην περίπτωση αυτή έχουμε ένα μιγαδικό σήμα. Σε όλες τις περιπτώσεις η ανεξάρτητη μεταβλητή (δηλαδή ο χρόνος) είναι πραγματικός αριθμός. Σε μία συγκεκριμένη περίπτωση βρίσκουμε ότι η πιο κατάλληλη μέθοδος για την απεικόνιση των σημάτων εξαρτάται από το συγκεκριμένο τύπο του σήματος που θεωρούμε. Ανάλογα με το χαρακτηριστικό που ενδιαφέρει μπορούμε να ξεχωρίσουμε τέσσερις διαφορετικές κατηγορίες σημάτων :

 

·         Περιοδικά Σήματα, Απεριοδικά Σήματα.

Περιοδικό σήμα g(t) είναι μία συνάρτηση, η οποία ικανοποιεί τη συνθήκη:

g(t)=g(t+T0)    (1.1)

 

για κάθε t, όπου t δηλώνει χρόνο και T0 είναι μία σταθερά. Η μικρότερη τιμή της T0, η οποία ικανοποιεί αυτή τη συνθήκη ονομάζεται περίοδος του g(t). Συνεπώς η περίοδος T0 καθορίζει τη διάρκεια ενός πλήρους κύκλου του g(t).

Κάθε σήμα, για το οποίο δεν υπάρχει τιμή του T0, που να ικανοποιεί τη συνθήκη της Εξ. (1.1), ονομάζεται μη περιοδικό ή απεριοδικό σήμα..

 

·         Ντετερμινιστικά Σήματα, Τυχαία Σήματα.

Ντετερμινιστικό σήμα είναι αυτό, για το οποίο δεν υπάρχει καμιά αβεβαιότητα, όσον αφορά την τιμή του σε κάθε χρονική στιγμή. Συνεπώς, βρίσκουμε ότι τα ντετερμινιστικά σήματα μπορούν να αναπαρασταθούν σαν πλήρως καθορισμένες συναρτήσεις του χρόνου.

Από την άλλη μεριά, τυχαίο σήμα είναι εκείνο για το οποίο υπάρχει κάποιος βαθμός αβεβαιότητας, προτού καν εμφανιστεί. Ένα τέτοιο σήμα μπορεί να θεωρηθεί ότι ανήκει σε μια συλλογή ή σύνολο σημάτων, όπου κάθε σήμα του συνόλου είναι διαφορετικό.

 

·         Ενεργειακά Σήματα, Σήματα Ισχύος

Στα ηλεκτρικά συστήματα, ένα σήμα μπορεί να παριστάνει μία τάση ή ένα ρεύμα. Θεωρείστε μία τάση v(t) που αναπτύσσεται στα άκρα μιας αντίστασης R, δημιουργώντας ένα ρεύμα i(t). Η στιγμιαία ισχύς, που καταναλώνεται στην αντίσταση, ορίζεται σαν:

 

p=|v(t)|2/R        (1.2)

 

ή ισοδύναμα:

p=R|i(t)|2          (1.3)  

 

Και στις δύο περιπτώσεις η στιγμιαία ισχύς p είναι ανάλογη του τετραγώνου του πλάτους του σήματος. Επιπλέον, για αντίσταση R ίση με 1Ω βλέπουμε ότι οι εξισώσεις (1.2) και (1.3) λαμβάνουν την ίδια μαθηματική μορφή. Συνεπώς, στην ανάλυση των σημάτων συνηθίζεται να εργαζόμαστε με αντιστάσεις 1Ω, έτσι ώστε, ανεξάρτητα από το αν ένα δοσμένο σήμα g(t) παριστάνει τάση ή ρεύμα, να μπορούμε να εκφράσουμε τη στιγμιαία ισχύ, που σχετίζεται με το σήμα, σαν:

p=|g(t)|2           (1.4)

Βασιζόμενοι σε αυτή τη σύμβαση, ορίζουμε την ολική ενέργεια ενός σήματος g(t) σαν:

E=limς|g(t)|2dt=|g(t)|2dt (1.5)

 

και τη μέση ισχύ  του σαν:

P=lim1/2T|g(t)|2dt (1.6)

 

Λέμε ότι το σήμα g(t) είναι ενεργειακό σήμα, αν και μόνο αν, η ολική ενέργεια του σήματος ικανοποιεί τη συνθήκη:

 

0<E<¥

 

Λέμε ότι το σήμα είναι σήμα ισχύος, αν και μόνο αν, η μέση ισχύς του σήματος ικανοποιεί τη συνθήκη:

 

0<P<¥

 

Η ταξινόμηση των σημάτων σε ενεργειακά και ισχύος είναι αμοιβαία αποκλειστική. Ειδικότερα, ένα ενεργειακό σήμα έχει μηδενική μέση ισχύ, ενώ ένα σήμα ισχύος έχει άπειρη ενέργεια. Ακόμη είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι, συνήθως, περιοδικά και τυχαία σήματα είναι σήματα ισχύος ενώ σήματα που είναι και ντετερμινιστικά και απεριοδικά είναι ενεργειακά σήματα.

 

·         Αναλογικά Σήματα, Ψηφιακά Σήματα

Ένα αναλογικό σήμα  είναι συνεχής συνάρτηση του χρόνου με συνεχές πλάτος επίσης. Αναλογικά σήματα δημιουργούνται όταν μία φυσική κυματομορφή, όπως ένα ακουστικό ή οπτικό κύμα μετατρέπεται σε ηλεκτρικό σήμα. Η μετατροπή επιτυγχάνεται μέσω ενός μετατροπέα.  Στα παραδείγματα περιλαμβάνονται το μικρόφωνο, που μετατρέπει ηχητικές μεταβολές πίεσης σε αντίστοιχες μεταβολές τάσης ή ρεύματος και το φωτοηλεκτρικό κύτταρο, που κάνει το ίδιο για μεταβολές έντασης του φωτός.

Από την άλλη πλευρά, ένα σήμα διακριτού χρόνου ορίζεται μόνο σε διακριτές χρονικές τιμές. Έτσι σε αυτήν την περίπτωση η ανεξάρτητη μεταβλητή λαμβάνει μόνο διακριτές τιμές που είναι συνήθως ομοιόμορφα κατανεμημένες. Συνεπώς, σήματα διακριτού χρόνου περιγράφονται σαν σειρές δειγμάτων, των οποίων τα πλάτη μπορούν να λάβουν συνέχεις τιμές. Όταν κάθε δείγμα ενός σήματος διακριτού χρόνου είναι κβαντισμένο (δηλαδή το πλάτος του επιτρέπει να λάβει μόνο ένα πεπερασμένο σύνολο διακριτών τιμών) και στη συνέχεια κωδικοποιημένο, το τελικό σήμα αναφέρεται σαν ψηφιακό σήμα. Η έξοδος από ένα ψηφιακό υπολογιστή είναι ένα παράδειγμα ψηφιακού σήματος. Φυσικά, ένα αναλογικό σήμα μπορεί να μετατραπεί σε ψηφιακή μορφή με δειγματοληψία  στο χρόνο, κβαντισμό και κωδικοποίησή του.

 

 

 

 

 

 

 

ΧΡΗΣΙΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΗΜΑΤΑ

 

Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζονται μερικά από τα χρησιμότερα σήματα στις τηλεπικοινωνίες.

 

·         Η βηματική συνάρτηση και συναφείς συναρτήσεις

 

Μοναδιαία βηματική συνάρτηση

 

u(t)=0 για t<0 και u(t)=1 για t=0 (1.7)

 

Συνάρτηση προσήμου

 

sgn=-1 για t<0 και sgn=+1 για t>0 (1.8)

 

Συνάρτηση τετραγωνικού παλμού

 

Pa=1 για |t|=a και Pa=0 για |t|>a (1.9)

ή

pa(t)=u(t+a)-u(t-a) (1.9a)

 

·         Η μοναδιαία κρουστική συνάρτηση ή συνάρτηση "Δέλτα"

 

Υπάρχουν πολλοί ορισμοί για τη συνάρτηση αυτή (συμβολικά δ(t), μερικοί από τους οποίους μάλιστα οδηγούν σε αδιέξοδο. Για πολλά χρόνια οι μαθηματικοί αμφισβητούσαν την ύπαρξη μιας τέτοιας συνάρτησης παρά το γεγονός ότι οι μηχανικοί την χρησιμοποιούσαν τακτικά. Τελικά ο L. Swartz παρουσιάζοντας τη θεωρία των γενικευμένων συναρτήσεων απέδειξε ότι η δ(t) ανήκει σε αυτή την κατηγορία.

 

Η συνάρτηση δ(t) ορίζεται ως εξής:

 

δ(t)=0 για t=0

και

δ(t)dt=δ(t)dt=1 (1.10)

 

·         Η συνάρτηση Δειγματοληψίας

 

Η συνάρτηση αυτή χρησιμοποιείται συχνότατα στην ανάλυση τηλεπικοινωνιακών συστημάτων και ορίζεται ως εξής:

 

Sa(t)=sin(t)/t (1.11)

 

 

·         Αρμονικά σήματα

 

Μια άλλη κατηγορία σημάτων που έχουν ιδιαίτερη σημασία στην ανάλυση τηλεπικοινωνιακών συστημάτων είναι τα αρμονικά σήματα. Ένα σήμα της κατηγορίας αυτής ορίζεται ως εξής:

 

x(t)=ej(2πft+θ) =cos(2πft+θ)+jsin(2πft+θ) (1.12)

Επειδή η συνάρτηση x(t) είναι μιγαδική σημαντικό ρόλο παίζουν τόσο το πραγματικό όσο και το φανταστικό μέρος της.

Ας σημειωθεί ότι η f είναι η συχνότητα και θ η φάση ενός τέτοιου σήματος. Τόσο τα αρμονικά σήματα όσο και το πραγματικό-φανταστικό τους μέρος είναι περιοδικά σήματα με περίοδο

 

T=1/f (1.13)

·         Η ακολουθία μοναδιαίου βήματος

 

Πρόκειται για σήμα διακριτού χρόνου και ορίζεται ως εξής:

 

u(n)=1 για n=0 και u(n)=0 για n<0 (1.14)

 

·         Η ακολουθία "Δέλτα"

 

Πρόκειται επίσης για σήμα διακριτού χρόνου και ορίζεται για κάθε ακέραιο Κ ως εξής:

 

δnk=δ(n-k)=1 για n=k και δnk=δ(n-k)=0 για n<>k (1.15) 

 

Από την παραπάνω εξίσωση εύκολα προκύπτει ότι κάθε διακριτό σήμα x(n) μπορεί να εκφραστεί μέσω της σχέσης:

¥

Σ x(n)=Σx(k)δ(n-k) (1.16)

n=-¥

 

Μιγαδικά εκθετικά σήματα διακριτού χρόνου

 

Είναι αντίστοιχα των αρμονικών βημάτων που περιγράφηκαν σε προηγούμενη παράγραφο και ορίζονται ως εξής:

 

x(n)=ej2πfn =cos(2πfn)+jsin(2πfn) (1.17)

 

Τα σήματα της κατηγορίας αυτής διαφέρουν από τα αντίστοιχα αναλογικά καθώς παρουσιάζουν δύο σημαντικές ιδιότητες. Καταρχήν η εκθετική συχνότητα f δεν είναι μοναδική. Πράγματι ισχύει:

 

ej2πf(n+1)=ej2πfn (1.18)

Συνεπώς η πρωτεύουσα συχνότητα f ορίζεται στο διάστημα 0=<f=<1.

Όταν γίνεται δειγματοληψία σε ένα αναλογικό σήμα ej2πft  λαμβάνονται στα χρονικά σημεία t=nT.

 

Τα δείγματα του αναλογικού σήματος είναι:

 

 ej2πft|t=nT=ej2πfTn (1.19)

 

Η παραπάνω σχέση υπονοεί ότι πρέπει

F=<1/T   (1.20)

πράγμα που σημαίνει ότι η συχνότητα του σήματος θα πρέπει να είναι μικρότερη ή ίση με τη συχνότητα δειγματοληψίας. Το θεώρημα δειγματοληψίας επιβάλλει ακόμα αυστηρότερες συνθήκες.

Η δεύτερη ιδιότητα αφορά την περιοδικότητα των μιγαδικών εκθετικών σημάτων διακριτού χρόνου. Αν N είναι η περίοδος του σήματος τότε

 

ej2πf(n+N)=ej2πfn (1.21)

 

πράγμα που σημαίνει ότι ej2πfN=1

 

Κατά συνέπεια fN=m όπου m ακέραιος οπότε

 

f=m/N   (1.22)

 

Η παραπάνω σχέση δείχνει ότι τα δείγματα ενός περιοδικού αναλογικού δείγματος είναι περιοδικά εάν ο ρυθμός δειγματοληψίας είναι τέτοιος ώστε να υπάρχει ένας ακέραιος αριθμός δειγμάτων ανά περίοδο 1/f δηλαδή:

 

1/f=mT   (1.23)

 

 

Δειγματοληψία

 

ΓΕΝΙΚΑ

 

Μία λειτουργία που είναι βασική στη σχεδίαση όλων των συστημάτων διαμόρφωσης είναι η διαδικασία δειγματοληψίας όπου ένα αναλογικό σήμα μετατρέπεται σε μία αντίστοιχη ακολουθία αριθμών που συνήθως ισαπέχουν χρονικά. Για να έχει πρακτική χρησιμότητα μία τέτοια διαδικασία είναι απαραίτητο να επιλέγουμε το ρυθμό δειγματοληψίας κατάλληλα, έτσι ώστε αυτή η ακολουθία αριθμών να ορίζει μοναδικά το αρχικό αναλογικό σήμα. Αυτή είναι η σημασία του θεωρήματος δειγματοληψίας που ακολουθεί στη συνέχεια.

 

ΘΕΩΡΗΜΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

 

Θεωρείστε ένα αυθαίρετο σήμα g(t) πεπερασμένης ενέργειας, που είναι ορισμένο σε κάθε χρονική στιγμή. Υποθέστε ότι λαμβάνουμε δείγματα του σήματος g(t) στιγμιαία και με ομοιόμορφο ρυθμό μια φορά κάθε Ts δευτερόλεπτα. Σαν αποτέλεσμα αυτής της διαδικασίας δειγματοληψίας λαμβάνουμε μια άπειρη ακολουθία αριθμών που απέχουν Ts δευτερόλεπτα μεταξύ τους και συμβολίζονται με {g(nTs)}, όπου το n παίρνει όλες τις δυνατές ακέραιες τιμές. Αναφέρουμε το Ts σαν την περίοδο δειγματοληψίας και το αντίστροφό του 1/Ts  σαν το ρυθμό δειγματοληψίας. Αυτή η ιδανική μορφή δειγματοληψίας ονομάζεται στιγμιαία δειγματοληψία.

Έστω ότι με gδ(t) συμβολίζουμε το σήμα που λαμβάνεται πολλαπλασιάζοντας την ακολουθία των αριθμών {g(nTs)}  με μία αντίστοιχη ακολουθία συναρτήσεων δέλτα  που ισαπέχουν Ts δευτερόλεπτα και στη συνέχεια αθροίζοντας τα επιμέρους γινόμενα έχουμε

¥

Σgδ(t)= Σg(nTs)δ(t- nTs) (2.1)

n=-¥

Αναφέρουμε το gδ(t) σαν το ιδανικό δειγματοληφθέν σήμα. Ισοδύναμα μπορούμε να εκφράσουμε το gδ(t) σαν το γινόμενο του αρχικού αναλογικού σήματος g(t) και μιας ιδανικής συνάρτησης δειγματοληψίας ή χτενιού Dirac δΤs(t) περιόδου Ts. Δηλαδή,

¥

Σgδ(t)=g(t) δΤs(t) =g(t)Σδ(t- nTs) (2.2) 

n=-¥

 

Μπορούμε συνεπώς να υπολογίσουμε το μετασχηματισμό Fourier του δειγματοληφθέντος σήματος gδ(t) συνελίσσοντας το μετασχηματισμό Fourier της g(t) με αυτόν της ιδανικής συνάρτησης δειγματοληψίας δΤs(t). Γνωρίζουμε ότι ο μετασχηματισμός Fourier της δΤs(t) αποτελείται από μια άλλη σειρά συναρτήσεων δέλτα με απόσταση μεταξύ τους 1/Ts hertz. Συνεπώς μπορούμε να εκφράσουμε το μετασχηματισμό Fourier του δειγματοληφθέντος σήματος gδ(t) σαν

                        

¥

Σ Gδ(f)=G(f) Δ 1/TsΣδ(f- n/Ts) (2.3)

n=-¥

                       

όπου το   Δ  συμβολίζει τη συνέλιξη. εναλλάσσοντας τη σειρά της άθροισης και της συνέλιξης στην εξίσωση (2.3), λαμβάνουμε

 

                                                   

¥

 ΣGδ(f)= 1/TsΣG(f) Δ δ(f- n/Ts) (2.4)

n=-¥

                                               

 

Ωστόσο, η συνέλιξη της συνάρτησης συχνότητας G(f) με τη συνάρτηση δέλτα αναπαράγει την ίδια τη συνάρτηση, δηλαδή

 

G(f) Δ δ(f- n/Ts)= G(f- n/Ts)

 

Μπορούμε συνεπώς να ξαναγράψουμε την εξίσωση (2.4) στη μορφή

 

    

¥

ΣGδ(f)= 1/TsΣG(f- n/Ts) (2.5)

n=-¥

  

Από την εξίσωση (2.5), βλέπουμε ότι η Gδ(f) παριστάνει ένα συνεχές φάσμα που είναι περιοδικό με περίοδο ίση με 1/Ts. Με άλλα λόγια, η διαδικασία ομοιόμορφης δειγματοληψίας ενός σήματος στο πεδίο του χρόνου δίνει σαν αποτέλεσμα ένα περιοδικό φάσμα στο πεδίο της συχνότητας με περίοδο ίση με το ρυθμό της δειγματοληψίας.

Μια άλλη χρήσιμη έκφραση του μετασχηματισμού Fourier Gδ(f) μπορεί να ληφθεί παίρνοντας το μετασχηματισμού Fourier και των δύο μελών της εξίσωσης (2.1) και παρατηρώντας ότι ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης δέλτα δ(n- Ts) είναι ίσος με exp(-j2πnfTs). Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε

                            

¥

ΣGδ(f)=Σg(nTs)exp(-j2πnfTs)  (2.6) 

n=-¥

                                                

 

Αυτή η σχέση μπορεί να θεωρηθεί σαν μια ανάπτυξη της περιοδικής συνάρτησης συχνότητας Gδ(f) σε μιγαδική σειρά Fourier, όπου η ακολουθία των δειγμάτων {g(nTs)} ορίζει τους συντελεστές της ανάπτυξης. Δηλαδή,

 

g(nTs)=TsGδ(f) exp(j2πnfTs) df (2.7)

 

Παρατηρείστε ότι στις σειρές Fourier που ορίστηκαν από τις εξισώσεις (2.6) και (2.7) οι συνηθισμένοι ρόλοι του χρόνου και της συχνότητας έχουν εναλλαγή.

Οι σχέσεις όπως προέκυψαν παραπάνω, εφαρμόζονται σε κάθε σήμα g(t) συνεχούς χρόνου, πεπερασμένης ενέργειας και άπειρης διάρκειας. Υποθέστε, ωστόσο, ότι το σήμα είναι αυστηρά ζωνοπεριορισμένο, με καμία συνιστώσα συχνότητας μεγαλύτερη από W hertz. Δηλαδή, ο μετασχηματισμός Fourier G(f) του σήματος g(t) έχει την ιδιότητα ότι η G(f) είναι μηδέν για f>W. Υποθέστε ακόμη ότι επιλέγουμε την περίοδο δειγματοληψίας Ts=1/2W. Θέτοντας στην εξίσωση (2.6) Ts=1/2W, δίνει

 

                                                    

¥

Σ Gδ(f)=Σg(n/2W)exp(-jπnf/W) (2.8)

n=-¥

                                                 

 

Επειδή από την εξίσωση (2.5) έχουμε

 

 G(f)=1/2WGδ(f)   -W£f£W (2.9)

 

προκύπτει από την εξίσωση (2.8) ότι μπορούμε ακόμα να γράψουμε

 

                                     

¥

 ΣG(f)= 1/2WΣg(n/2W)exp(-jπnf/W)    -W£f£W (2.10)

n=-¥

                                 

 

Συνεπώς, αν οι τιμές των δειγμάτων g(n/2W) του σήματος g(t) ορίζονται για κάθε χρονική στιγμή, τότε ο μετασχηματισμός Fourier G(f) του σήματος ορίζεται μονοσήμαντα χρησιμοποιώντας τη σειρά Fourier της εξίσωσης (2.10). Επειδή η g(t) συνδέεται με την G(f) με τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier, προκύπτει ότι και το ίδιο το σήμα το g(t) ορίζεται μονοσήμαντα από τις τιμές των δειγμάτων g(n/2W) για -¥£n£¥. Με άλλα λόγια, η ακολουθία {g(n/2W)} περιέχει όλη την πληροφορία για το g(t).

Θεωρείστε στη συνέχεια το πρόβλημα ανακατασκευής του σήματος g(t) από την ακολουθία των τιμών των δειγμάτων {g(n/2W)}. Αντικαθιστώντας την εξίσωση (2.10) στον τύπο του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier που ορίζει την g(t) συναρτήσει της G(f), λαμβάνουμε

 

                                                                     

                                                                  

¥ 

Σg(t)= G(f)exp(j2πft)df=1/2WΣg(n/2W)exp(jπnf/W)exp(j2πft)df

n=-¥

                                                               

 

Εναλλάσσοντας τη σειρά της άθροισης και της ολοκλήρωσης

                                     

¥ 

Σg(t)= Σg(n/2W)1/2Wexp[j2πf(t-(n/2W))]df (2.11)

n=-¥

                                  

 

Ο όρος του ολοκληρώματος στην εξίσωση (2.11) μπορεί εύκολα να υπολογιστεί, δίνοντας

                                           

¥ 

Σg(t)= Σg(n/2W) sin(2πWt-nπ)/(2πWt-nπ)=

n=-¥

                                        

 

                      

¥ 

Σg(n/2W) sinc(2Wt-n)    -¥<t<¥   (2.12)

n=-¥

                               

 

Η εξίσωση (2.12) παρέχει μια σχέση παρεμβολής για την ανακατασκευή του αρχικού σήματος g(t) από την ακολουθία των τιμών των δειγμάτων {g(n/2W)}, με τη συνάρτηση sinc(2Wt) να παίζει το ρόλο της συνάρτησης παρεμβολής. Κάθε δείγμα πολλαπλασιάζεται με μία καθυστερούμενη μορφή της συνάρτησης παρεμβολής και όλες οι κυματομορφές που προκύπτουν προστίθενται για να δώσουν τη g(t). Είναι αξιοπρόσεκτο ότι η εξίσωση (2.12) παριστάνει επίσης την απόκριση ενός ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου εύρους ζώνης W και μηδενικής καθυστέρησης διάδοσης, που παράγεται από ένα σήμα εισόδου που αποτελείται από την ακολουθία δειγμάτων {g(n/2W)} για -¥£n£¥. Αυτό είναι διαισθητικά ικανοποιητικό, καθώς παρατηρώντας το φάσμα βλέπουμε ότι το αρχικό σήμα g(t) μπορεί να ανακτηθεί με ακρίβεια από την ακολουθία των δειγμάτων {g(n/2W)} περνώντας το μέσα από ένα ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο με εύρος ζώνης W.

Μπορούμε να αναπτύξουμε μία άλλη σημαντική έκφραση της εξίσωσης (2.12) χρησιμοποιώντας την ιδιότητα ότι η συνάρτηση sin(2Wt-n), όπου το n είναι ακέραιος, ανήκει σε μια οικογένεια μετατοπισμένων συναρτήσεων sinc που είναι αμοιβαία ορθογώνιες. Για να αποδείξουμε αυτήν την ιδιότητα χρησιμοποιούμε τον τύπο

 

g1(t)g2(t)*dt=G1(f)G2(f)*df

 

όπου g1(T)« G1(F)  και g2(t)«G2(f). Αυτή η σχέση μπορεί να θεωρηθεί σαν μια γενίκευση του θεωρήματος ενέργειας του Rayleigh. Θέστε

 

g1(t)=sinc(2Wt-n)=sinc{2W(t-(n/2W))}

και

g2(t)=sinc(2Wt-m)=sinc{2W(t-(m/2W))}

 

Παρατηρούμε ότι η sinc(2Wt)«(1/2W)rect(f/2W). Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα χρονικής μετατόπισης του μετασχηματισμού Fourier βρίσκουμε ότι

 

G1(f)=(1/2W)rect(f/2W)exp(-jπnf/W)

και

G2(f)= (1/2W)rect(f/2W)exp(-jπmf/W)

 

Συνεπώς

sinc(2Wt-n)sinc(2Wt-m)dt=(1/2w)2exp{-jπf(n-m)/W}df=

 

=sin{π(n-m)}/2Wπ(n-m)

 

Αυτό το αποτέλεσμα είναι ίσο με 1/2W όταν n=m και μηδέν όταν n<>m. Άρα έχουμε

 

sinc(2Wt-n)sinc(2Wt-m)dt=1/2W   όταν n=m

και             

sinc(2Wt-n)sinc(2Wt-m)dt=0 όταν n<>m (2.13)

 

Συνεπώς, η εξίσωση (2.12) παριστάνει την ανάπτυξη του σήματος g(t) σαν ένα άπειρο άθροισμα ορθογωνικών συναρτήσεων με τους συντελεστές της ανάπτυξης, g(n/2W), να ορίζονται από

 

g(n/2W)=2Wg(t)sinc(2Wt-n)dt (2.14)

 

Μπορούμε συνεπώς να δούμε τους συντελεστές g(n/2W) αυτής της ανάπτυξης σαν συντεταγμένες σε έναν απείρων διαστάσεων χώρο σημάτων. Σε αυτόν τον χώρο κάθε σήμα αντιστοιχεί σε ένα ακριβώς σημείο και κάθε σημείο σε ένα σήμα.

Μπορούμε τώρα να εκφράσουμε το θεώρημα δειγματοληψίας για ζωνοπεριορισμένα σήματα πεπερασμένης ενέργειας με δύο ισοδύναμους τρόπους:

1.  Ένα ζωνοπεριορισμένο σήμα πεπερασμένης ενέργειας, που δεν έχει συνιστώσες συχνότητας μεγαλύτερες από W hertz περιγράφεται πλήρως καθορίζοντας τις τιμές του σήματος σε χρονικές στιγμές που απέχουν 1/2W δευτερόλεπτα.

2.   Ένα ζωνοπεριορισμένο σήμα πεπερασμένης ενέργειας, που δεν έχει συνιστώσες συχνότητας μεγαλύτερες από W hertz, μπορεί να ανακτηθεί πλήρως από τη γνώση των δειγμάτων του που λαμβάνονται με ρυθμό 2W ανά δευτερόλεπτο.

Ο ρυθμός δειγματοληψίας των 2W δειγμάτων ανά δευτερόλεπτο, για ένα εύρος ζώνης W hertz συχνά καλείται ρυθμός Nyquist. Το θεώρημα δειγματοληψίας λειτουργεί σαν βάση για τη δυνατότητα εναλλαγής αναλογικών σημάτων και ψηφιακών ακολουθιών, που είναι πολύτιμη στα ψηφιακά συστήματα επικοινωνίας.

Η προέλευση του θεωρήματος δειγματοληψίας, όπως περιγράφτηκε παραπάνω, βασίζεται στην υπόθεση ότι το σήμα g(t) είναι αυστηρά ζωνοπεριορισμένο. Μια τέτοια απαίτηση ωστόσο μπορεί να ικανοποιηθεί μόνο αν η g(t) έχει άπειρη διάρκεια. Με άλλα λόγια, ένα αυστηρά ζωνοπεριορισμένο σήμα δεν μπορεί ταυτόχρονα να είναι χρονικά περιορισμένο και αντίστροφα. Παρόλα αυτά μπορούμε να θεωρήσουμε ένα χρονικά περιορισμένο σήμα σαν ουσιαστικά ζωνοπεριορισμένο σήμα με την έννοια ότι οι συνιστώσες συχνότητας του έξω από κάποια ζώνη ενδιαφέροντος έχουν αμελητέες επιδράσεις. Μπορούμε στη συνέχεια να δικαιολογήσουμε την πρακτική εφαρμογή του θεωρήματος δειγματοληψίας.

 

Παραλλαγή

 

Όταν ο ρυθμός δειγματοληψίας 1/Ts ξεπερνά το ρυθμό Nyquist 2W, όλα τα αντίγραφα της G(f) που εμπλέκονται στην κατασκευή της Gδ(f) απομακρύνονται περισσότερο μεταξύ τους και δεν υπάρχει πρόβλημα στην ανάκτηση του αρχικού σήματος g(t) από τη δειγματοληφθείσα gδ(t) μορφή του. Όταν, ωστόσο, ο ρυθμός δειγματοληψίας 1/Ts είναι μικρότερος από 2W, βρίσκουμε ότι στην κατασκευή του φάσματος Gδ(f) του δειγματοληφθέντος σήματος, τα μετατοπισμένα κατά συχνότητα αντίγραφα του αρχικού φάσματος G(f) επικαλύπτονται. Σε αυτή την περίπτωση, οι υψηλές συχνότητες της G(f) αντικατοπτρίζονται στις χαμηλές συχνότητες της Gδ(f). Το φαινόμενο όπου μία συνιστώσα υψηλής συχνότητας στο φάσμα του αρχικού σήματος g(t) λαμβάνει φαινομενικά την ταυτότητα μιας χαμηλότερης συχνότητας στο φάσμα της δειγματοληφθείσας μορφής του gδ(t) ονομάζεται φαινόμενο παραλλαγής. Είναι λοιπόν προφανές ότι αν ο ρυθμός δειγματοληψίας 1/Ts είναι μικρότερος από το ρυθμό του Nyquist το αρχικό σήμα g(t) δε μπορεί να ανακτηθεί ακριβώς από τη δειγματοληφθείσα μορφή του gδ(t) και συνεπώς χάνεται πληροφορία κατά τη διαδικασία δειγματοληψίας.

Ένας άλλος παράγοντας που συνεισφέρει στην παραλλαγή είναι το γεγονός ότι ένα σήμα δεν μπορεί να είναι πεπερασμένο τόσο στον χρόνο όσο και στη συχνότητα, όπως αναφέρθηκε προηγουμένως. Καθώς αυτό παραβιάζει την αυστηρή απαίτηση ζωνοπεριορισμού του θεωρήματος δειγματοληψίας, βρίσκουμε ότι όταν γίνεται δειγματοληψία σε ένα χρονοπεριορισμένο σήμα θα υπάρχει πάντα κάποια παραλλαγή που θα παράγεται από τη διαδικασία δειγματοληψίας. Συνεπώς, για να καταπολεμήσουμε το φαινόμενο της παραλλαγής στην πράξη, χρησιμοποιούμε δύο διορθωτικά μέτρα:

1.   Πριν από τη δειγματοληψία χρησιμοποιείται ένα ζωνοπερατό φίλτρο προπαραλλαγής για να εξασθενίσει εκείνες τις συνιστώσες υψηλής συχνότητας του σήματος που βρίσκονται έξω από τη ζώνη ενδιαφέροντος.

2.   Γίνεται δειγματοληψία του φιλτραρισμένου σήματος με ρυθμό ελαφρά υψηλότερο από το ρυθμό Nyquist.

Είναι ενδιαφέρον να παρατηρήσουμε ότι η χρήση ενός ρυθμού δειγματοληψίας 1/Ts υψηλότερου από το ρυθμό Nyquist, 2W, έχει ακόμη το επιθυμητό αποτέλεσμα να κάνει ευκολότερη τη σχεδίαση του φίλτρου ανακατασκευής για την ανάκτηση του αρχικού αναλογικού σήματος από τη δειγματοληφθείσα μορφή του. Με έναν τέτοιο ρυθμό δειγματοληψίας βρίσκουμε ότι υπάρχουν χάσματα πλάτους 1/Ts-2W το καθένα, μεταξύ των μετατοπισμένων στη συχνότητα αντιγράφων της G(f). Συνεπώς, μπορούμε να επιλέξουμε το εύρος ζώνης B του ιδανικού φίλτρου ανακατασκευής ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη:

 

W<B<1/Ts-W

 

ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΥ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΑΠΟ  ΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΟΥ

 

Μία μελέτη της διαδικασίας δειγματοληψίας δεν θα είναι πλήρης χωρίς να θεωρήσουμε την ανακατασκευή στατικού στοχαστικού μηνύματος από τα δείγματά του. Σε αυτή την ενότητα θα δείξουμε ότι όταν ένα στατικό με την  ευρεία έννοια στοχαστικό σήμα (του οποίου το φάσμα ισχύος είναι ζωνοπεριορισμένο) ανακατασκευάζεται από μία ακολουθία δειγμάτων του που λαμβάνονται με ρυθμό ίσο με το διπλάσιο της υψηλότερης συνιστώσας συχνότητας, τότε η ανακατασκευασμένη στοχαστική ανέλιξη ισούται με το αρχικό μήνυμα με την έννοια της μέσης τετραγωνικής τιμής για όλες τις χρονικές στιγμές.

Θεωρείστε στη συνέχεια στατικό με την ευρεία έννοια στοχαστικό μήνυμα X(t) με συνάρτηση αυτοσυσχέτισης Rx(τ) και πυκνότητα φάσματος ισχύος

Sx(f)=0 για  |f|>W

 

Υποθέστε ότι έχουμε διαθέσιμη μία άπειρη ακολουθία δειγμάτων του μηνύματος που λαμβάνονται με ομοιόμορφο ρυθμό ίσο με 2W, δηλαδή, το διπλάσιο της υψηλότερης συνιστώσας συχνότητας του μηνύματος. Χρησιμοποιώντας το X'(t) για να συμβολίσουμε την ανακατασκευασμένη στοχαστική ανέλιξη που βασίζεται σε αυτή την άπειρη ακολουθία δειγμάτων, μπορούμε να γράψουμε

 

                                           

¥                

ΣX'(t)=ΣX(n/2W)sinc(2Wt-n) -¥<t<¥ (2.15) 

n=-¥

                                        

 

όπου X(n/2W) είναι μία τυχαία μεταβλητή που λαμβάνεται με δειγματοληψία ή παρατηρώντας το στοχαστικό μήνυμα X(t) τη χρονική στιγμή t=n/2W. Η μέση τετραγωνική τιμή του σφάλματος μεταξύ αρχικού στοχαστικού μηνύματος X(t) και του ανακατασκευασμένου στοχαστικού μηνύματος X'(t), ισούται

 

Α=E[(X(t)-X'(t))2]=E[X2(t)]-2E[X(t)X'(t)]+E[(X'(t))2] (2.16)

 

Αναγνωρίζουμε τον πρώτο μέσο όρο στο δεξιό μέλος της εξίσωσης (2.16) σαν τη μέση τετραγωνική τιμή του X(t), που ισούται με Rx(0), έτσι

 

E[X2(t)]= Rx(0) (2.17)

 

Για το δεύτερο μέσο όρο, χρησιμοποιούμε την εξίσωση (2.14) και έτσι γράφουμε

     

¥

ΣE[X(t)X'(t)]=E[X(t)ΣX(n/2W)sinc(2Wt-n)] 

n=-¥

                                                     

 

Εναλλάσσοντας τη σειρά της άθροισης και του τελεστή προσδοκίας:

                                                                                         

¥                                                           

ΣE[X(t)X'(t)]=ΣE[X(t)X(n/2W)]sinc(2Wt-n)] =

n=-¥                                                                      

 

 

¥

Σ Rx(t-n/2W)sinc(2Wt-n) (2.18) 

n=-¥

                                    

 

Για μια στατική ανέλιξη η μέση τιμή E[X(t)X'(t)] είναι ανεξάρτητη του χρόνου t. Συνεπώς, θέτοντας t=0 στο δεξιό μέλος της εξίσωσης (2.18) και αναγνωρίζοντας ότι Rx(-n/2W)=Rx(n/2W), μπορούμε να γράψουμε

                                           

 E[X(t)X'(t)]=Σ Rx(n/2W)sinc(-n) (2.19)

 

Ο όρος Rx(n/2W) παριστάνει ένα δείγμα της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης Rx(τ) που έχει ληφθεί για τ=n/2W. Τώρα, εφόσον η πυκνότητα φάσματος ισχύος Sx(f) ή ισοδύναμα ο μετασχηματισμός Fourier της Rx(τ) είναι μηδέν για |f|>W, μπορούμε να παραστήσουμε την Rx(τ) συναρτήσει των δειγμάτων της που λαμβάνονται τις χρονικές στιγμές τ=n/2W ως εξής

 

  Rx(τ)=Σ Rx(n/2W)sinc(2Wτ-n)   -¥<τ<¥  (2.20)

Συνεπώς συμπεραίνουμε ότι από τις εξισώσεις (2.19) και (2.20) ότι

 

E[X(t)X'(t)]= Rx(0) (2.21)

 

Για τον τρίτο και τελευταίο μέσο όρο της εξίσωσης (2.16), χρησιμοποιούμε ξανά την εξίσωση (2.15) και έτσι γράφουμε

                                                       

                                                                                              

¥                                    

ΣE[(X'(t))2]=E[ΣX(n/2W)sinc(2Wτ-n) ΣX(k/2W)sinc(2Wt-k)]=

n=-¥

 

E[Σsinc(2Wt-n)ΣX(n/2W)X(k/2W)sinc(2Wt-k)]

 

Εναλλάσσοντας τη σειρά του τελεστή προσδοκίας και της εσωτερικής άθροισης

E[(X'(t))2]=Σsinc(2Wt-n) ΣE[X(n/2W)X(k/2W)]sinc(2Wt-k)]

=Σsinc(2Wt-n) ΣRx(n-k/2W)sinc(2Wt-k)] (2.22)

 

Ωστόσο, από την εξίσωση (2.20) αναγνωρίζουμε ότι η εσωτερική άθροιση στο δεξιό μέλος της εξίσωσης (2.22) ισούται με Rx(t-n/2W). Συνεπώς, μπορούμε να απλοποιήσουμε την εξίσωση (2.22) ως εξής

E[(X'(t))2]=ΣRx(t-n/2W)sinc(2Wt-k)=Rx(0) (2.23)

 

Τελικά, αντικαθιστώντας τις εξισώσεις (2.17), (2.21) και (2.23) στην εξίσωση (2.16), λαμβάνουμε το αποτέλεσμα

 

Α=0

 

Με άλλα λόγια, η μέση τετραγωνική τιμή της διαφοράς μεταξύ του αρχικού στοχαστικού μηνύματος X(t) και του ανακατασκευασμένου στοχαστικού μηνύματος X'(t) είναι μηδέν, όπως προηγούμενα αναφέρθηκε.

 

 

Κβαντισμός

 

Ένα συνεχές σήμα, όπως η φωνή, έχει συνεχές πεδίο τιμών πλάτους και συνεπώς τα δείγματά του έχουν συνεχές πεδίο τιμών πλάτους. Με άλλα λόγια, μέσα στο πεπερασμένο πεδίο τιμών του σήματος βρίσκουμε έναν άπειρο αριθμό σταθμών πλάτους. Δεν είναι απαραίτητο στην πραγματικότητα να μεταδίδουμε τα ακριβή πλάτη των δειγμάτων. Οποιαδήποτε ανθρώπινη αίσθηση σαν τελικός δέκτης, μπορεί μόνο να ανιχνεύσει πεπερασμένες διαφορές έντασης. Αυτό σημαίνει ότι το αρχικό συνεχές σήμα μπορεί να προσεγγιστεί από ένα σήμα το οποίο κατασκευάζεται από διακριτά πλάτη, επιλεγμένα από ένα διαθέσιμο σύνολο με βάση την ελαχιστοποίηση του σφάλματος. Η ύπαρξη ενός πεπερασμένου αριθμού διακριτών σταθμών πλάτους είναι μία βασική συνθήκη της PCM. Προφανώς, εάν καθορίσουμε διακριτές στάθμες πλάτους με αρκετά μικρό βήμα μεταξύ τους, μπορούμε να κάνουμε το προσεγγιζόμενο σήμα να μην ξεχωρίζει πρακτικά από το αρχικό συνεχές σήμα.

Η μετατροπή ενός αναλογικού δείγματος του σήματος σε μια ψηφιακή μορφή καλείται διαδικασία κβαντοποίησης. Γραφικά, η διαδικασία κβαντοποίησης σημαίνει ότι μία ευθεία γραμμή που παριστάνει τη σχέση μεταξύ της εισόδου και της εξόδου ενός γραμμικού συνεχούς συστήματος αντικαθίσταται από μία κλιμακωτή χαρακτηριστική. Η διαφορά μεταξύ των δύο γειτονικών διακριτών τιμών ονομάζεται κβάντο  ή μέγεθος βήματος. Τα σήματα που εφαρμόζονται σε έναν κβαντιστή ταξινομούνται σε στάθμες πλάτους (τα βήματα) και όλα τα σήματα εισόδου μέσα στο συν ή πλην μισό ενός κβάντου της μεσαίας τιμής μιας στάθμης αντικαθίστανται στην έξοδο από την υπόψη μεσαία τιμή.

Το σφάλμα κβαντισμού αποτελείται από τη διαφορά μεταξύ των σημάτων εισόδου και εξόδου του κβαντιστή. Είναι φανερό ότι η μέγιστη στιγμιαία τιμή αυτού του σφάλματος είναι το μισό ενός κβάντου και το συνολικό εύρος της μεταβολής είναι από -μισό έως +μισό βήμα.

Υπάρχουν δύο τρόποι σχεδίασης του κβαντιστή. Πρώτον, η έξοδος ενός κβαντιστή μπορεί να εκφραστεί στη μορφή Hiδ, όπου   ±Hi=0, 1, 2,... και δ είναι το μέγεθος του κβάντου. Ένας κβαντιστής που έχει αυτή τη σχέση εισόδου-εξόδου καλείται τύπου μέσου πατήματος  επειδή η αρχή των αξόνων βρίσκεται στο μέσο ενός οριζόντιου τμήματος του σκαλοπατιού στο κλιμακωτό γράφημα

Ένας δεύτερος τρόπος σχεδίασης του κβαντιστή είναι να ορίσουμε την έξοδό του στη μορφή Hiδ/2, όπου ±Hi=1, 3, 5,.... Αυτός ο κβαντιστής ονομάζεται τύπου μέσης ανύψωσης επειδή στην περίπτωση αυτή η αρχή των αξόνων βρίσκεται στο μέσο ενός κατακόρυφου τμήματος της κλιμακωτής σχέσης εισόδου-εξόδου.

Η διαδικασία κβαντοποίησης χρησιμοποιεί ομοιόμορφη απόσταση μεταξύ των επιπέδων κβαντισμού. Σε κάποιες εφαρμογές, ωστόσο, είναι προτιμητέο να χρησιμοποιηθεί μεταβλητή απόσταση μεταξύ των επιπέδων κβαντισμού. Για παράδειγμα η περιοχή των τάσεων που καλύπτονται από σήματα φωνής, από τα μέγιστα δυνατής φωνής μέχρι τα ασθενή διαστήματα της χαμηλής ομιλίας είναι της τάξης 1000 προς 1. Χρησιμοποιώντας έναν μη ομοιόμορφο κβαντιστή με το χαρακτηριστικό ότι το μέγεθος του βήματος αυξάνει, καθώς η απόσταση από την αρχή των αξόνων της χαρακτηριστικής πλάτους εισόδου-εξόδου αυξάνει, το τελευταίο μεγάλο βήμα του κβαντιστή μπορεί να συμπεριλάβει όλες τις πιθανές περιπλανήσεις του σήματος φωνής στις μεγάλες στάθμες πλάτους, οι οποίες συμβαίνουν σχετικά σπάνια. Με άλλα λόγια, τα ασθενή διαστήματα, που χρειάζονται περισσότερη προστασία, προτιμούνται σε βάρος των ισχυρών διαστημάτων. Κατά αυτόν τον τρόπο επιτυγχάνεται μία ποσοστιαία ομοιόμορφη ακρίβεια στο μεγαλύτερο τμήμα του πεδίου τιμών του σήματος εισόδου, με αποτέλεσμα να απαιτούνται λιγότερα βήματα από ότι στην περίπτωση που θα χρησιμοποιούνταν ομοιόμορφος κβαντιστής.

Η χρήση ενός μη ομοιόμορφου κβαντιστή είναι ισοδύναμη με τη διέλευση του σήματος βασικής ζώνης μέσω ενός συμπιεστή και στη συνέχεια την εφαρμογή του συμπιεσμένου σήματος σε ομοιόμορφο κβαντιστή. Μία ιδιαίτερη μορφή του νόμου συμπίεσης, που χρησιμοποιείται στην πράξη είναι ο ονομαζόμενος νόμος-μ, που ορίζεται από

 

|u2|=log(1+μ|u1|)/log(1+μ) (3.1)

 

όπου u1 και u2 είναι οι κανονικοποιημένες τάσεις εισόδου και εξόδου και μ είναι μία θετική σταθερά. Η περίπτωση ομοιόμορφης κβαντοποίησης αντιστοιχεί σε μ=0. Για δοσμένη τιμή του μ, το αντίστροφο της κλίσης της καμπύλης συμπίεσης που ορίζει τα βήματα κβαντισμού είναι

 

d|u1|/d|u2|=(1+μ|u1|)log(1+μ)/μ (3.2)

 

Βλέπουμε συνεπώς, ότι ο νόμος-μ δεν είναι ούτε αυστηρά γραμμικός, ούτε αυστηρά λογαριθμικός, αλλά είναι κατά προσέγγιση γραμμικός για χαμηλές στάθμες εισόδου που αντιστοιχούν σε μ|u1|>>1.

Ένας άλλος νόμος συμπίεσης, που χρησιμοποιείται στην πράξη είναι ο λεγόμενος νόμος-Α που ορίζεται από

|u2|=Α|u1|/1+logA  για 0=|u1|=1/Α

 

|u2|=1+log(A|u1|)/1+logA   για 1/Α=|u1|=1 (3.3)

 

Οι πρακτικές τιμές του Α (όπως του μ στον νόμο-μ) τείνουν να είναι στην περιοχή του 100. Η περίπτωση ομοιόμορφης κβαντοποίησης αντιστοιχεί σε Α=1. Η αντίστροφη κλίση αυτής της καμπύλης συμπίεσης είναι:

 

d|u1|/d|u2|=1+logA/A     για    0=|u1|=1/Α

          

d|u1|/d|u2|=(1+logA)|u1|   για  1/Α=|u1|=1 (3.4)

 

Έτσι τα βήματα κβαντισμού πάνω στο κεντρικό γραμμικό τμήμα, που επιδρούν κυρίως στα μικρά σήματα, ελαττώνονται κατά έναν παράγοντα A/(1+logA). Αυτός είναι τυπικά περίπου 25 dB στην πράξη σε σύγκριση με τον ομοιόμορφο κβαντισμό.

Για να επαναφέρουμε τα δείγματα του σήματος στην αντίστοιχη σωστή στάθμη πρέπει, φυσικά, να χρησιμοποιήσουμε μια διάταξη στο δέκτη με χαρακτηριστική συμπληρωματική εκείνης του συμπιεστή. Μια τέτοια διάταξη ονομάζεται αποσυμπιεστής. Στην ιδανική περίπτωση, οι νόμοι συμπίεσης και αποσυμπίεσης είναι ακριβώς αντίστροφοι έτσι ώστε εκτός από την επίδραση της κβαντοποίησης η έξοδος του αποσυμπιεστή να είναι ίση με την είσοδο του συμπιεστή. Ο συνδυασμός ενός συμπιεστή και ενός αποσυμπιεστή ονομάζεται συμπιεστής-αποσυμπιεστής.

 

 

 

 

Κωδικοποίηση

 

Συνδυάζοντας τις διαδικασίες δειγματοληψίας και κβαντοποίησης, ένα συνεχές σήμα βασικής ζώνης περιορίζεται σ' ένα διακριτό σύνολο τιμών, αλλά όχι σε μορφή που να ταιριάζει καλά σε μετάδοση μέσω μιας γραμμής ή ενός ραδιοδιαύλου. Για να εκμεταλλευτούμε τα πλεονεκτήματα δειγματοληψίας και κβαντοποίησης απαιτείται η χρησιμοποίηση μιας διαδικασίας κωδικοποίησης (encoding process) για τη μετατροπή του διακριτού συνόλου των τιμών των δειγμάτων σε πιο κατάλληλη μορφή. Κάθε σχέδιο για την αναπαράσταση καθενός από αυτά τα διακριτά σύνολα τιμών σαν μια ιδιαίτερη διάταξη διακριτών γεγονότων ονομάζεται κώδικας (code). Ένα από τα διακριτά γεγονότα σ' ένα κώδικα ονομάζεται στοιχείο του κώδικα (code element) ή σύμβολο (symbol). Για παράδειγμα, η παρουσία ή η απουσία ενός παλμού είναι ένα σύμβολο. Μια ιδιαίτερη διάταξη συμβόλων, που χρησιμοποιείται σε ένα κώδικα, για την παράσταση μιας μόνο τιμής του διακριτού συνόλου ονομάζεται κωδική λέξη (codeword) ή χαρακτήρας (character).

Σ' ένα δυαδικό κώδικα (binary code) κάθε σύμβολο μπορεί να πάρει μια από δυο διακριτές τιμές ή είδη, όπως η παρουσία ή απουσία ενός παλμού. Τα δυο σύμβολα ενός δυαδικού κώδικα συνήθως συμβολίζονται με 0 και 1. Σ' ένα τριαδικό κώδικα (ternary code), κάθε σύμβολο μπορεί να είναι μία από τρεις διακριτές τιμές ή είδη, και ούτω καθ' εξής για τους άλλους κώδικες. Ωστόσο, το μέγιστο πλεονέκτημα, σε σχέση με την επίδραση θορύβου σ 'ένα μέσο μετάδοσης, επιτυγχάνεται χρησιμοποιώντας δυαδικό κώδικα, επειδή ένα δυαδικό σύμβολο αντέχει μια υψηλή στάθμη θορύβου και είναι εύκολο να αναγεννηθεί.

Υποθέτουμε ότι σ' ένα δυαδικό κώδικα κάθε κωδική λέξη αποτελείται από n bit. Το bit είναι ένα ακρωνύμιο για το δυαδικό ψηφίο (binary digit). Τότε, χρησιμοποιώντας ένα τέτοιο κώδικα μπορούμε να παραστήσουμε ένα σύνολο 2 διακριτών αριθμών. Για παράδειγμα, ένα δείγμα κβαντισμένο σε μια από 128 στάθμες μπορεί να παρασταθεί με μια κωδική λέξη 7-bit. Υπάρχουν πάρα πολλοί τρόποι για τη δημιουργία μιας αντιστοίχησης ένα προς ένα μεταξύ κβαντισμένων σταθμών και κωδικών λέξεων. Ένας βολικός τρόπος είναι να εκφράσουμε τον αριθμό τάξης της κβαντισμένης στάθμης σαν ένα δυαδικό αριθμό. Στο δυαδικό σύστημα αριθμών, κάθε ψηφίο έχει τιμή θέσης που είναι δύναμη του δύο.

Υπάρχουν πολλοί τρόποι με τους οποίους τα δυαδικά σύμβολα 1 και 0 μπορούν να παρασταθούν από ηλεκτρικά σήματα:

 1.        Το σύμβολο 1 παριστάνεται με τη μετάδοση ενός παλμού σταθερού πλάτους κατά τη διάρκεια του συμβόλου και το σύμβολο 0 παριστάνεται από τη διακοπή του παλμού. Αυτός ο τύπος σήματος αναφέρεται σαν σήμα on-off (on-off signal).

 2.        Τα σύμβολα 1 και 0 παριστάνονται από παλμούς ίσου θετικού και αρνητικού πλάτους. Αυτός ο τύπος σήματος αναφέρεται σαν πολικό σήμα (polar signal) ή σήμα μη επιστροφής στο μηδέν  (Non Return-toZero(NRZ) signal).

3.         Ένας ορθογώνιος παλμός (εύρους μισού συμβόλου) χρησιμοποιείται για το 1 και η απουσία παλμού για το 0. Αυτός ο τύπος σήματος ονομάζεται σήμα επιστροφής στο μηδέν (Return-to Zero(RZ) signal).

4.         Θετικοί και αρνητικοί παλμοί ίσου πλάτους χρησιμοποιούνται σε εναλλαγή για το σύμβολο 1 και απουσία παλμού για το σύμβολο 0. Αυτός ο τύπος σήματος ονομάζεται διπολικό σήμα (bipolar signal). Μια χρήσιμη ιδιότητα αυτής της μεθόδου είναι ότι το φάσμα ισχύος του μεταδιδόμενου σήματος δεν έχει συνιστώσα dc και έχει σχετικά αμελητέες συνιστώσες χαμηλής συχνότητας, στην περίπτωση όπου τα σύμβολα 1 και 0 εμφανίζονται με ίση πιθανότητα.

 5.        Το σύμβολο 1 παριστάνεται μ' ένα θετικό παλμό ο οποίος ακολουθείται από έναν αρνητικό παλμό, με τους δύο παλμούς να έχουν ίσο πλάτος και εύρος μισού συμβόλου. Για το σύμβολο 0 οι πολικότητες αντιστρέφονται. Αυτός ο τύπος σήματος ονομάζεται χωρισμού φάσης (split phase), ή κώδικας Manchester (Manchester code). Απαλείφει την συνιστώσα dc και έχει σχετικά αμελητέες συνιστώσες χαμηλής συχνότητας, ανεξάρτητα από τη στατιστική του σήματος, που είναι σημαντικό σε μερικές εφαρμογές.

6.         Μερικές φορές είναι επιθυμητό να κωδικοποιήσουμε την πληροφορία σε μια δυαδική κυματομορφή PCM συναρτήσει των μεταβολών του σήματος. Για παράδειγμα, μια μεταβολή σε μια δυαδική κυματομορφή PCM μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να ορίζει το σύμβολο 0, ενώ η απουσία μεταβολής μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να ορίζει το σύμβολο 1. Αυτή η μέθοδος αναπαράστασης ονομάζεται διαφορική κωδικοποίηση (differential encoding). Είναι φανερό, ότι ένα διαφορικά κωδικοποιημένο σήμα μπορεί να αντιστραφεί χωρίς να επηρεάζεται το περιεχόμενό του. Η αρχική δυαδική πληροφορία επανακτείται με δειγματοληψία της λαμβανόμενης κυματομορφής και  σύγκριση της πολικότητας των γειτονικών δειγμάτων για να γίνει αντιληπτό κατά πόσο ή όχι έχει εμφανιστεί μια μεταβολή.